注释里面的那个问题，说，对于区间套问题，必须是闭合的区间。他举的一个例子，$0 < x \leq \frac{1}{n}$，我不理解最后一句，

但是，并不存在属于所有 $I_n$ 的点 $x$。

具体的理解可以参考知乎上的一个回答：

严格的来说，开区间并不是完全不适用区间套定理，只是需要更严格的条件。

为了说明，举一个反例：（0，1/n）

其中各个开区间都是前一个包含后一个

且有lim（1/n-0）= 0

但该开区间套并不满足闭区间套定理，原因：

不存在一个属于所有开区间的公共点：

不妨假设存在这样的公共点，易知该点靠近0

但由于1/n的极限为0（n趋近于正无穷）

则无论这个点取到多小 不妨设为ε（ε＞0）

由极限定义知存在N 当n＞N有 1/n＜ε成立

即ε在区间（0，1/n）之外

显然与假设矛盾，故不存在这样的公共点

这样的公共点不存在 显然不满足闭区间套定理

若改为闭区间呢？即**［0，1/n］**

注意到由于闭区间的缘故，存在公共点0

所以闭区间是满足区间套定理的

由上面的反例可看出，开区间之所以不一定满足区间套定理，是因为：

左右端点形成的数列的极限可能在开区间之外

上述反例中，常数列0和递减数列1/n的极限均为0，而0不在（0，1/n）中，所以定理不成立

给出对开区间满足区间套定理的严格条件：

若｛（an，bn）｝为开区间套，

且数列｛an｝严格单调递增，｛bn｝严格递减

则满足区间套定理

以上

希望对你有所帮助！

作者：echo 33

链接：https://www.zhihu.com/question/40106847/answer/313164361

来源：知乎

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我的理解是，如果我们假定我们找到了一个属于所有 $I_n$ 的点 $x$，那么，我们都可以找出一个作为反例的更小的区间。

而如果是闭合的区间的话，比如，$0 \leq x \leq \frac{1}{n}$，那么，我们就可以可以取到 $x$ 为 $0$。